SISTEMA GRACELI - DINÂMICO ESTATÍSTICO QUÂNTICO [7]

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Uma estatística quantica, no contexto da mecânica quântica e no da mecânica estatística, é a descrição de como a energia de cada um dos entes unitários constituintes de um ensemble está distribuida, dada uma energia total E constante, sob a restrição de que:

a energia passa a ser quantizada;
as partículas objeto de estudo passam a ser indistinguíveis.

Isso é feito expressando-se as probabilidades relativas de uma partícula com energia $E_{n}$

De modo clássico, a probabilidade é dada por:

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${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

P\left(E_{n}\right)={\frac {1}{Q}}\exp \left(-E_{n}/kT\right)

onde

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Q=\sum _{j}\exp \left(-E_{j}/kT\right)

Q=\sum _{j}\exp \left(-E_{j}/kT\right)

é a chamada função de partição

Nos casos quanticos, o que muda é a questão da quantização do espaço de fase, o que impõe um "volume" mínimo de célula possível nesse espaço.

O desenvolvimento do método da máxima entropia (ME) ocorreu através de duas linhas de pesquisa: inferência estatística (Bernoulli, Bayes, Laplace, Jeffreys, Cox) e modelagem estatística de problemas em mecânica, física e de informação (Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Shannon).

O objetivo da primeira linha de investigação é a de formular uma teoria/metodologia que permite a compreensão das características gerais (distribuição) de um sistema de informação parcial e incompleto. Na segunda linha de investigação, este mesmo objectivo é expresso na forma de determinar como atribuir valores numéricos (iniciais) das probabilidades quando apenas algumas quantidades globais limitadas (teoricamente) do sistema investigados são conhecidas. O reconhecimento dos objetivos básicos comuns destas duas linhas de pesquisa auxiliou Jaynes (1957)^[1]^[2] no desenvolvimento do seu trabalho clássico, de formalização da máxima entropia. Isto é, a formalização da ME foi baseada na filosofia da primeira linha de investigação e na matemática da segunda linha de investigação.

Jaynes mostrou que maximizar estatisticamente a entropia (mecânica) com a finalidade de revelar o modo como as moléculas de gás estavam distribuídas seria equivalente à simples maximização da entropia (de informação) de Shannon com informação mecânica estatisticamente. O método foi correto para atribuir probabilidades independentemente das especificidades da informação. Esta ideia conduziu a máxima entropia ou à utilização do método da máxima entropia para atribuir probabilidades. Este método tem evoluído para um método mais geral, o método de máxima entropia relativa (MEr), que tem a vantagem de não só atribuir probabilidades, mas atualizá-las quando nova informação é dada sob a forma de restrições sobre os probabilidades.

A ME pode ser aplicada para análise de uma grande variedade de problemas na maioria das disciplinas da ciência. por exemplo, trabalhos sobre a reconstrução de imagem e análise espectral em medicina, física, química, biologia, topografia, engenharia, comunicação e informação, investigação de operações, ciência política e economia (tomografia, imagens de satélite, motores de busca, matriz insumo-produto, métodos tipo GMM, modelagem de dados em econometria); a investigação em estimação e inferência estatística (métodos bayesianos e não bayesianos); e inovações em curso no processamento de informação e de TI.

Definição

Em Física, a entropia de um sistema é uma medida de sua ‘desordem’. O físico austríaco Ludwig Boltzmann definiu a entropia de um sistema através da seguinte expressão:

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$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

S=k\ln \theta

em que $�$ é uma constante (positiva) de ajuste dimensional e $\theta$ é número de estados do sistema. A ‘desordem’ (denotada por $�$ ) está diretamente relacionada ao número de estados. Então,

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${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

S=k\ln D

Portanto, se $�$ mede a desordem, $-S$ (uma entropia negativa) mede a ordem do sistema. Uma das mais importantes variantes da equação anterior é a entropia de Shannon, também conhecida como entropia de informação, definida como:^[3]

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${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

S(X)=-k\sum _{i=1}^{n}{P_{i}\ln P_{i}}\,

onde $S(X)$ é a entropia da variável aleatória X, que denota a probabilidade de que X esteja no estado i, k é uma constante de ajuste dimensional, n é o número total de categorias ou estados, e $P_{i}$ representa sua respectiva probabilidade. Os valores de $P_{i}$ que maximizam $S(X)$ são submetidos às condições da informação disponível.

O princípio da máxima entropia é útil explicitamente apenas quando aplicado a informações testáveis. Uma informação é testável se for possível determinar se uma dada distribuição é coerente com ela. Por exemplo, as declarações

O valor esperado da variável X é 2,87

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$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

P_{2}+P_{3}>0{,}6

são declarações de informações testáveis.

Dada uma informação testável, o procedimento de máxima entropia consiste em procurar a distribuição de probabilidade de que maximiza a entropia da informação, sujeita às restrições da informação. Este problema de otimização restrita normalmente é resolvido utilizando o método de multiplicadores de Lagrange.

O problema pode ser enunciado como segue: Maximizar

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$\psi ^{*}$

S(X)=-\sum _{i=1}^{n}{P_{i}\ln P_{i}}\,

com o conjunto de restrições (r):

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$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

[Q_{r}]=\sum _{i=1}^{n}{P_{i}Q_{r}(i)}\,

Q_{r}^{m}

onde

r=0,1,2...

que significa que o valor médio de $Q_{r}$ é igual a $Q_{r}^{m}$ . Para r = 0, temos a condição de normalização, que assegura que $\sum _{i=1}^{n}{P_{i}}=1\,$ . Para r ≥ 1, $Q_{r}^{m}$ é obtido da informação parcial que se tem do sistema.

Utilizando multiplicadores de Lagrange, $\lambda _{r}$ , o problema é maximizar

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$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

-\sum _{i=1}^{n}{P_{i}\ln P_{i}}\,

-\sum _{r}{\lambda _{r}Q_{r}(i)}\,

A solução geral é

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$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

P_{i}=e^{-\sum _{r}{\lambda _{r}Q_{r}(i)}\,}

Propriedades

$S(X)=0$ se e somente se todos os $P_{i}$ são zero, com exceção de um que tem valor unitário. Intuitivamente, essa é a situação de maior certeza. De outra maneira, $S(X)$ é positivo.
Para um dado $�$ , $S(X)=0$ e igual a $\ln(n)$ quando todos os $P_{i}$ são iguais (i.é., $1/n$ ). Contrariamente à situação anterior, esse é o caso de maior incerteza.
Se existem dois eventos, $�$ e $�$ , com $�$ possibilidades para o primeiro e $�$ para o segundo e $P(i,j)$ é a probabilidade de ocorrência conjunta de $�$ para o primeiro e $�$ para o segundo, a entropia do evento conjunto é:

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$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

S(X,Y)=-\sum _{i,j}{P(i,j)\ln P(i,j)}\,

com

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$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

S(X)=-\sum _{i,j}{P(i,j)\sum _{j}{\ln P(i,j)}\,}\,

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$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

S(Y)=-\sum _{i,j}{P(i,j)\sum _{i}{\ln P(i,j)}\,}\,

Destas definições segue que:

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$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

S(X,Y)\leq S(X)+S(Y)

Por definição, a entropia condicional de $�$ é dada por:

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$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

S_{x}(Y)=-\sum _{i,j}{P(i,j)\ln P_{i}(j)}\,

De onde resultam

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$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

S(X,Y)=S(X)+S_{x}(Y)

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

S(Y)\geq H_{x}(Y)

�

Em mecânica estatística clássica, o teorema H, introduzido por Ludwig Boltzmann em 1872, descreve a tendência para diminuir a quantidade H em um gás quase-ideal de moléculas^[1]. Como essa quantidade H deveria representar a entropia da termodinâmica, o teorema H foi uma demonstração inicial do poder da mecânica estatística, já que afirmava derivar a segunda lei da termodinâmica - uma declaração sobre processos fundamentalmente irreversíveis - da mecânica microscópica reversível. O teorema H é uma conseqüência natural da equação cinética derivada por Boltzmann que passou a ser conhecida como equação de Boltzmann.^[2]^[3]^[4]

Definição e significado do H de Boltzmann

O valor H é determinado a partir da função f(E, t) dE, que é a função de distribuição de energia das moléculas no tempo t. O valor f(E, t) dE dE é o número de moléculas que possuem energia cinética entre E e E + dE. O próprio H é definido como

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$\psi ^{*}$

H(t)=\int _{0}^{\infty }f(E,t)\left(\ln {\frac {f(E,t)}{\sqrt {E}}}-1\right)\,dE.

Para um gás ideal isolado (com energia total fixa e número total fixo de partículas), a função H é mínima quando as partículas possuem uma distribuição de Maxwell-Boltzmann; se as moléculas do gás ideal forem distribuídas de alguma outra maneira (por exemplo, todas com a mesma energia cinética), então o valor de H será maior. O teorema H de Boltzmann demonstra que quando as colisões entre moléculas são permitidas, essas distribuições são instáveis e tendem a procurar irreversivelmente o valor mínimo de H (para a distribuição de Maxwell-Boltzmann).^[5]

Em termodinâmica, uma Transformação isentrópica (combinação da palavra grega "iso" - igual - e "entropia") é aquela em que a entropia do sistema permanece constante.

A Segunda Lei da Termodinâmica estabelece que:

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\delta Q\leq TdS

onde $\delta Q$ é a quantidade de energia que o sistema ganha por aquecimento, $�$ a temperatura do sistema, e $� �$ a variação de entropia. O símbolo de igualdade implicaria um processo reversível. Em um processo isentrópico reversível não há transferência de energia calorífica, e por isso o processo é também adiabático. Em um processo adiabático irreversível, a entropia aumentará, de modo que é necessário eliminar calor do sistema (mediante refrigeração) para manter uma entropia constante. Por isso, um processo isentrópico irreversível não pode ser adiabático.

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